a proposito di collassi (di funzioni d’onda): Fabio Mombelli – 210

ecco una avvincente prosecuzione (di Fabio Mombelli, brillante studente un tempo del liceo dove ero preside) della discussione con Krammer avviata qui: il ritorno di Krammer: il reale è reale? – 208.

questa si concludeva con queste domande mie: “il punto che ancora mi crea problemi, per le mie carenze di preparazione matematica, è come avviene il collasso della funzione d’onda: è una operazione matematica? il calcolo di una funzione per un valore particolare? che cos’è?”

ed ecco quest’altra voce che si aggiunge al nostro dialogo, per rispondere alla mia domanda:

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Carissimo Mauro,
come stai? Leggo stamane con grande interesse la discussione tra te e Krammer in merito a “questioni quantistiche”, tematiche che mi appassionano molto, di cui faccio uso quotidiano in relazione alla mia materia di studio e rispetto alle quali molto spesso anche io mi trovo a riflettere.
Essendo giunto alla fine del post e avendo letto i tuoi interrogativi residui in merito al collasso della funzione d’onda, cerco anche io di darti un mio contributo, sperando possa essere chiaro ed eventualmente complementare rispetto a quello di Krammer.

Si consideri una particella, nella meccanica classica newtoniana essa può, come sai, essere descritta dalla sua posizione e dalla sua velocità (o per meglio dire dalla sua quantità di moto, o momento), vale a dire che in ogni istante di tempo un osservatore può specificarne con esattezza (a meno di incertezze sperimentali) il punto occupato nello spazio e la velocità posseduta.
Non solo, mediante l’equazione di Newton, la famosa “forza uguale a massa per accelerazione”, è possibile descrivere – note le forze agenti sulla particella – come la sua posizione e la sua velocità evolveranno nel tempo a partire dalle condizioni iniziali note (la loro legge oraria)!
Questo paradigma, come sai, viene messo in crisi dalla meccanica quantistica, per cui (vedasi il principio di indeterminazione), non è possibile indicare contemporaneamente la posizione e la velocità di una particella, e questo non per semplici ragioni sperimentali (il mio strumento di misura non è abbastanza preciso), ma per una ragione intrinseca!

Veniamo alla funzione d’onda: ti risparmio la definizione formale (o meglio le possibili definizioni formali), ma intuitivamente la funzione d’onda è un oggetto matematico che associamo ad una particella e che fa le veci della sua legge oraria classica: il significato fisico di tale funzione (secondo la già citata interpretazione di Copenaghen) risiede nel suo modulo quadro ed è quello di una densità di probabilità.
(Ti richiamo brevemente il concetto di funzione, si tratta di una relazione che associa ad un valore in un insieme di partenza un valore in un insieme di arrivo).
Questo significa che integrando (l’operazione di integrale è quella che, intuitivamente, calcola l’area al di sotto del grafico di una funzione) la funzione d’onda tra due estremi, trovi la probabilità (compresa tra 0 e 1) che la particella si trovi nella regione di spazio compresa tra quegli estremi lì!
Consideriamo questo esempio, l’elettrone in un atomo di idrogeno: come vedi – NOTA: l’immagine del grafico non è trasferibile nel blog, ma è visibile in questo allegato in PDF:

collasso_fx_ondaDownload

– il modulo quadro della funzione d’onda ha due massimi; se noi volessimo ad esempio calcolare la probabilità che la particella si trovi tra un punto a e un punto b (dal nucleo), dovremmo calcolarci l’area sotto al grafico nell’intervallo (a, b). E’ ovvio che sarà molto più probabile trovarla vicino ai massimi, ma alla particella non è fatto alcun divieto di trovarsi in tutte le zone in cui la funzione d’onda e il suo modulo quadro sono non nulli.
Nell’ipotetica rappresentazione classica, la densità di probabilità sarebbe stata una funzione affilatissima e altissima in un punto preciso, quello in cui saremmo stati sicuri di trovare la particella (questa funzione affilatissima prende il nome di delta di Dirac, forse ne hai sentito parlare, ma non mi addentro).

L’equazione di Schroedinger (nella versione cosiddetta tempo-dipendente) – e che qui ti riporto – NOTA: vedi ancora PDF – esplicita come varia la funzione d’onda di una particella in funzione del potenziale in cui è immersa e della sua energia: molto semplicemente altro non è che una versione quantistica della già citata equazione di Newton. Quest’ultima esprimeva la variazione di posizione e velocità in funzione del tempo e delle forze agenti sul sistema, l’equazione d’onda di Schroedinger fa proprio la stessa cosa:
l’azione di una “forza” può determinare una alterazione della funzione d’onda, se prima la funzione d’onda era “più concentrata” in una regione di spazio (e quindi la particella aveva una maggiore probabilità di trovarsi in quella regione di spazio), la presenza di un potenziale esterno può determinare la nascita di una “corrente di probabilità”, responsabile di una alterazione della funzione d’onda e che fa sì che la particella abbia a questo punto una probabilità maggiore di trovarsi altrove, proprio come tirando un calcio ad un pallone il pallone si sposterà altrove.

L’equazione di Schroedinger gode di una proprietà fondamentale (tanto semplice quanto complicata da interpretare in senso fisico), vale a dire la linearità. Questo significa che, se A e B sono due funzioni d’onda soluzioni dell’equazione di Schroedinger, allora anche una loro qualunque combinazione lineare (ad esempio la loro somma A + B) lo è!
[Attenzione, non pensare che l’equazione di Schroedinger abbia un ruolo speciale nella descrizione quantistica della materia, ce l’ha semplicemente in termine storici, è la prima equazione d’onda ad essere introdotta, ma ha dei limiti: il limite principale è che tale equazione non è “relativisticamente corretta”, cioè non è in accordo con la teoria della relatività, ad esempio non descrive in nessun modo lo spin di una particella, che è una proprietà fondamentale e intrinseca della particella stessa.
Sono disponibili molte altre equazioni d’onda, ad esempio l’equazione d’onda per particelle a spin 1⁄2 (fermioni, tra cui l’elettrone) relativisticamente corretta è la nota (e spesso abusata) equazione di Dirac.]

Torniamo però a noi, non è ancora finita, in fisica abbiamo a che fare con molte grandezze, la posizione certo, ma anche la quantità di moto (o la velocità, se ti è più facile da visualizzare), l’energia, il momento angolare etc.. Queste grandezze fisiche (che in meccanica classica si costruiscono a partire da combinazioni opportune di posizione e quantità di moto), in meccanica quantistica sono rappresentate da oggetti matematici chiamati operatori, che agiscono sulla funzione d’onda.
Ad ogni operatore (cioè ad ogni grandezza fisica, ad esempio l’energia), corrispondono autovalori e autostati (o autofunzioni): questo è un passaggio molto delicato ma essenziale per comprendere il collasso della funzione d’onda.

Provo a spiegarmi meglio, per ogni operatore (ovvero per ogni grandezza fisica) esistono delle particolari funzioni d’onda (autostati o autofunzioni), tali che facendo agire l’operatore su una delle sue autofunzioni, ciò che si ottiene è l’autofunzione stessa moltiplicata per un numero (che prende il nome di autovalore).
Queste autofunzioni hanno un significato molto particolare, poiché rappresentano degli stati quantistici in cui la grandezza rappresentata dall’operatore considerato è definita senza incertezza e l’autovalore associato rappresenta il valore di questa grandezza.
Provo a farti un esempio, consideriamo la grandezza fisica energia, essa è rappresentata da un “operatore energia” (che prende il nome di operatore hamiltoniano, in gergo): ci sono delle particolari funzioni d’onda tali che l’azione dell’hamiltoniano su tali funzioni d’onda restituisce la funzione d’onda stessa moltiplicata per un numero; la funzione è rappresentativa di uno stato in cui l’energia è definita “senza incertezza”, mentre il numero è proprio il valore di energia in quello stato!
È come se autofunzioni e autovalori fossero un barlume di “certezza” in un universo di incertezza!

In generale un operatore possiede numerosi autovalori e numerose autofunzioni associate, l’insieme dei suoi autovalori prende il nome di spettro, e gli autovalori di un operatore sono tutti e i soli valori che una grandezza può assumere! (Avrai sentito molte volte dire che l’energia di un elettrone in un atomo non può essere qualsiasi, ma solo alcuni valori quantizzati di energia sono possibili o accessibili, ecco questi valori sono proprio gli autovalori dell’operatore hamiltoniano nell’atomo).
Attenzione però, come dicevo prima l’equazione di Schroedinger è lineare! Questo significa che ogni soluzione dell’equazione di Schroedinger (e quindi ogni stato per la mia particella) può essere scritta come combinazione lineare di queste autofunzioni! Ovvero uno stato qualsiasi (“incasinato a piacere”) può essere scritto come somma pesata di stati in cui una grandezza (ad esempio l’energia, nel mio esempio) è nota con esattezza.

Ora questo nuovo stato che abbiamo ottenuto avrà perso la caratteristica di essere autofunzione dell’operatore da cui siamo partiti (nel nostro caso l’hamiltoniano), ma sarà una somma di autofunzioni! Ma quindi, se noi nello stato “generico” misuriamo la grandezza fisica energia con un ipotetico “energia-metro”, misuriamo qualcosa oppure no? Certo che misuriamo qualcosa, misuriamo uno dei possibili autovalori dell’energia (che sono i valori che possiamo ottenere per quella grandezza), e sul nostro ipotetico strumento leggiamo un valore preciso, ma il fatto è che ripetendo la misura nelle stesse condizioni potremmo ottenere un valore diverso di energia, e poi un altro ancora!
Cosa significa questo? Significa che uno stato può essere rappresentato come combinazione lineare di stati di energia nota (la suddetta combinazione lineare), per cui uno stato ha in ogni momento una certa probabilità di avere questa o quella energia (che non è determinata, poiché uno stato ha “un po’ di ogni autostato”), ma l’operazione di misura (secondo l’interpretazione di Copenaghen) fa sì che si perda questa indeterminazione!
Ovvero, misurando, io devo necessariamente ottenere un valore! La misura costringe il sistema “ad esprimersi” per così dire. Più propriamente, l’operazione di misura fa collassare (si dice) la funzione d’onda su uno degli autostati dell’operatore associato alla grandezza che stiamo misurando!

Ecco il collasso della funzione d’onda!
E quindi il principio di indeterminazione di Heisenberg a cui accennavo inizialmente vale in termini statistici: se effettuiamo molte misure di posizione e quantità di moto per una particella in una stessa condizione, otteniamo dei valori esatti di posizione e quantità di moto ogni volta, ma questi valori cambiano (e possiamo caratterizzarli in senso statistico mediante – ad esempio – valore medio e deviazione standard)! Misurazioni diverse restituiranno valori diversi di posizione e quantità di moto (e la rosa di valori che otterremo saranno gli autovalori dell’operatore posizione e dell’operatore quantità di moto), così che effettivamente, a valle di molte misure, la posizione e la quantità di moto siano entrambe incerte!

Spero di averti aiutato almeno un pochino,
Un abbraccio,
Fabio
PS perdona eventuali errori, sia nella forma sia nel contenuto, ho cercato di semplificare alcuni concetti, e soprattutto ho scritto molto velocemente e di getto prima di andare a lezione.

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accidenti se mi ha aiutato Fabio! ho dovuto rileggere tre volte con molta attenzione – ed è una cosa che riesce ancora scrivendo un post, ma mi rendo conto che è quasi impossibile che riesca leggendolo! – mi ha lasciato un po’ confuso l’apparizione dell’operatore hamiltoniano che non so bene che cos’è (Fabio sopravvaluta la mia preparazione), però mi pare di avere capito l’essenziale; non è detto sicuramente che sia così (a proposito di principio di indeterminazione! 😉 ), però provo a ridirlo con parole mie, così da potere essere corretto se sbaglio:

.1. il principio di indeterminazione non dipende da una nostra debolezza nelle misurazioni, ma è una caratteristica intrinseca della “realtà”; quando ci arrivai per mio conto, diverso tempo fa, fu una conquista fondamentale per la mia visione del mondo.

2. la “realtà”, quindi, viene descritta meglio che da funzioni di tipo newtoniano che danno risultati ben definiti, da funzioni d’onda, che danno risultati di tipo probabilistico.

3. questo tipo di funzioni vengono modificate da azioni esterne, assumendo conformazioni particolari.

4. una di queste azioni è l’osservazione, che va sempre considerata come un preciso processo fisico, capace di alterare la “realtà” osservata (di modo che noi non abbiamo nessuna percezione diretta della “realtà” che precede l’osservazione, ma interagiamo sempre e soltanto con gli effetti della nostra osservazione.

5. l’osservazione costringe, per così dire, la funzione d’onda ad assumere un valore determinato e ci restituisce dunque un barlume di certezza, come lo chiama Fabio, ma, per la natura probabilistica della “realtà”, questo valore è solo probabile e la ripetizione dell’osservazione per lo stesso oggetto può restituirci valori differenti.

in conclusione il collasso della funzione d’onda è una forma di determinazione del risultato di quella funzione per l’intervento dell’osservazione, che è a sua volta un fenomeno fisico che ne modifica i valori portandoli da un risultato specifico.

(chissà se ho capito davvero!)

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ma, dato che ho la tastiera a disposizione e menti acute che mi ascoltano, aggiungo una intuizione maldestra che non c’entra con questo problema, almeno apparentemente e in prima battuta:

noi siamo abituati a considerare la “realtà” come il frutto dell’interazione fra le tre dimensioni spaziali, s, e la quarta dimensione (un po’ anomala) temporale, t, e su questa base definiamo la velocità come risultante della relazione v=s/t, spazio diviso tempo.

ma se la “realtà” fosse invece fatta soltanto di velocità? la velocità della luce con cui la osserviamo, ad esempio…

se la realtà fosse v e non s * t?

in altre parole, allora, lo spazio sarebbe il RISULTATO di v MOLTIPLICATO t: cioè s= v * t, cioè lo spazio sarebbe velocità moltiplicata per il tempo;

e t= s/v, cioè il tempo sarebbe soltanto lo spazio diviso per la velocità.

ma che cosa succede se identifichiamo il tempo con l’osservazione? cioè se lo attribuiamo all’osservatore soltanto?

ne risulterebbe che è l’osservazione applicata alla velocità che la trasforma in spazio, mentre il tempo è concepibile come una forma di frammentazione dello spazio.

in ultima analisi allora noi vivremmo in un mondo ad una sola dimensione, la velocità (della luce?), nel quale creeremmo lo spazio a tre dimensioni con l’osservazione, come se fosse un gigantesco ologramma generato dalla luce; e il tempo stesso sarebbe il nostro modo di frammentare, attraverso l’entropia, lo spazio che abbiamo creato.

(ma non sono davvero un po’ pazzo a lanciare queste provocazioni, senza nessuna base matematica?).

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risposta già ricevuta da Fabio:

Mi sembra che tu abbia afferrato i punti salienti del discorso, mi riservo di leggere con più calma e attenzione le tue considerazioni finali.

Al momento, posso cercare di chiarirti l’operatore hamiltoniano. Come ti dicevo una grandezza fisica viene rappresentata in meccanica quantistica mediante il formalismo degli operatori, che sono delle “macchinette” che agiscono sulla funzione d’onda e ti restituiscono qualcosa d’altro (se quella funzione d’onda è un’autofunzione dell’operatore, ecco che ciò che restituiscono è la funzione stessa moltiplicata per l’autovalore corrispondente, e questo significa che quella funzione è rappresentativa di uno stato in cui la grandezza di interesse è nota senza incertezza).
Quindi alla grandezza fisica posizione corrisponderà l’operatore posizione (con i suoi autovalori e le sue autofunzioni, che sono rispettivamente i valori che la grandezza fisica posizione può assumere e gli stati in cui il sistema assume quei valori di posizione), alla grandezza fisica quantità di moto (che classicamente è il prodotto di massa e velocità) corrisponderà l’operatore quantità di moto (con i suoi autovalori e le sue autofunzioni), alla grandezza fisica energia corrisponderà l’operatore energia, che viene tuttavia chiamato operatore hamiltoniano, tutto qui, è solo un nome.
La ragione di questo nome risiede nella formulazione cosiddetta analitica della meccanica classica, in cui appare una certa funzione hamiltoniana, ma questo non è fondamentale ai nostri scopi.

Aggiungo un passaggio chiave, la grandezza fisica energia (e quindi l’operatore hamiltoniano) gioca un ruolo fondamentale nella meccanica quantistica, e non ti sarà sfuggito che l’operatore hamiltoniano H sia l’unico a comparire nell’equazione di Schroedinger, ha un ruolo decisamente privilegiato!
La ragione è presto detta: il principio di conservazione dell’energia è diretta conseguenza dell’omogeneità del tempo, vale a dire dell’invarianza dei processi fisici per traslazione temporale.
Ecco quindi che l’equazione di Schrodinger, che descrive l’evoluzione temporale della funzione d’onda, fa uso in qualche modo dell’energia! In generale affinché una grandezza si conservi, l’operatore corrispondente deve “commutare” con l’hamiltoniano (teorema di Ehrenfest): in altre parole, una grandezza si conserva se il suo operatore è tale da soddisfare precise relazioni (dette di commutazione) rispetto all’operatore hamiltoniano, che risulta essere fondamentale per comprendere l’evoluzione nel tempo di un sistema fisico.
Non so se tu abbia o meno sentito parlare di principio indeterminazione energia-tempo, ma anche questo si lega a quanto detto.

Spero di non averti sovraccaricato, A presto, Fabio

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sovraccaricato di sicuro, intellettualmente, considerando le mie basi o la mia mancanza di basi, ma si tiene un blog anche per questo, per essere sollecitati mentalmente (della mia mancanza di basi di fisica forse non ti rendi adeguatamente conto… 😉 😉 😉 ):

ora ho capito che l’operatore hamiltoniano è particolarmente connesso col ruolo dell’energia; molte altre cose nuove che hai detto mi sfuggono ancora; ma ci sarà tempo per approfondirle ancora!

un grande grazie!